Cours et Exercices
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Beaucoup de problèmes mathématiques, physiques ou économiques, vérifient la propriété suivante : « si u et v sont solutions alors u + v est aussi solution, ainsi que λu où λ est un réel. »
De tels problèmes sont dits linéaires et ils sont souvent plus faciles à résoudre que les problèmes plus généraux dits non-linéaires. C’est pourquoi a été introduite la notion d’espace vectoriel qui permet de définir un cadre rigoureux à de tels phénomènes. La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. L’intérêt de ce concept est de dégager les propriétés communes que partagent ces ensembles pourtant très différents. Le nom provient de l’ensemble le plus simple à visualiser, celui des vecteurs du plan. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour ”l’agrandir”, le ”rétrécir” ou le ”faire changer de sens” si ce réel est négatif). Dans tous les cas, le résultat de ces opérations sera encore un vecteur du plan. De la même manière, prenons une fonction continue sur un intervalle I, on peut lui ajouter une autre fonction continue sur l’intervalle I ou bien la multiplier par un réel et cela restera une fonction continue sur l’intervalle I. Même chose avec les polynômes, les matrices, les suites ... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux fonctions, aux polynômes ...
On donnera dans ce chapitre une première approche concrète à ces notions qui seront approfondies au second semestre.
Chapitre 12, version non complétée
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Le but de ce chapitre est de mettre en place un cadre théorique pour le calcul des probabilités, dans le cas où l’univers est fini. Les notions vues en classe de terminale sont approfondies, et l’approche via les arbres pondérés est remplacée par des raisonnements sur les événements, qui nécessitent la maîtrise des formules littérales, des opérations sur les ensembles et plus de rigueur et de rédaction en général.
Vous trouverez ci-dessous la version complétée du cours ainsi que la feuille d'exercices correspondante.
Chapitre 11, version non complétée
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Les notions de limites et de continuité sont fondamentales en analyse. Dans ce chapitre, nous commencerons par introduire de manière rigoureuse les notions de limites de fonctions définies sur un intervalle de R, puis nous complèterons les techniques de calcul de limites abordées dans le chapitre sur les suites convergentes. Enfin, nous donnerons la définition rigoureuse d’une fonction continue et nous verrons les propriétés qui en découlent.
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Chapitre 10, version non complétée
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L’objectif de ce chapitre est d’introduire le vocabulaire élémentaire sur les ensembles: appartenance, inclusion, réunion, intersection, complémentaire... ainsi que le vocabulaire élémentaire sur les applications : injection, surjection, bijection...
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