Cours et Exercices

Beaucoup de problèmes mathématiques, physiques ou économiques, vérifient la propriété suivante : « si u et v sont solutions alors u + v est aussi solution, ainsi que ku où k est un réel. »
De tels problèmes sont dits linéaires et ils sont souvent plus faciles à résoudre que les problèmes plus généraux dits non-linéaires. C’est pourquoi a été introduite la notion d’espace vectoriel qui permet de définir un cadre rigoureux à de tels phénomènes.

La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. L’intérêt de ce concept est de dégager les propriétés communes que partagent ces ensembles pourtant très différents. Le nom provient de l’ensemble le plus simple à visualiser, celui des vecteurs du plan.

Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour ”l’agrandir”, le ”rétrécir” ou le ”faire changer de sens” si ce réel est négatif). Dans tous les cas, le résultat de ces opérations sera encore un vecteur du plan. L’objectif de ce chapitre est de définir les notions de bases de la théorie des espaces vectoriels sur des exemples simples (Rn pour n = 2 ou 3) pour donner une première approche de cette théorie très riche.

En L1, nous avons étudié les suites réelles qui permettent de modéliser des phénomènes intervenant uniquement à la fin d’intervalles discrets comme l’évolution annuelle d’une population, le montant sur un livret d’épargne à la fin de chaque trimestre... Cependant, il existe des modèles dans lesquels il est plus naturel et logique de considérer le temps comme une variable continue. Par exemple lorsqu’on s’intéresse à une population au sein de laquelle les naissances et décès ne sont pas contraints par l’achèvement d’intervalles de temps. Pour mesurer ces situations où le temps est une variable continue, on utilise les équations différentielles.

Chapitre 6, version non complétée

Chapitre 6, version complétée

TD6

Corrigé du TD6

Ce chapitre a pour objectif l’étude des variables aléatoires définies sur un univers infini, non dénombrable. Ces variables aléatoires sont dites à densité et possèdent un certain nombre de propriétés que nous étudierons en détail. Pour finir, nous verrons des lois usuelles qui permettent de modéliser un nombre important d’expériences aléatoires.

Dans ce chapitre, nous commençons par des rappels d’intégration sur un segment. Puis, nous généralisons la notion d’intégrales sur des intervalles non bornés. Les intégrales généralisées seront un outil essentiel pour définir les variables aléatoires à densité que nous verrons dans le Chapitre 5.

Chapitre 4, version non complétée

Chapitre 4, version complétée

TD4

Corrigé du TD4