Beaucoup de problèmes mathématiques, physiques ou économiques, vérifient la propriété suivante : « si u et v sont solutions alors u + v est aussi solution, ainsi que ku où k est un réel. »
De tels problèmes sont dits linéaires et ils sont souvent plus faciles à résoudre que les problèmes plus généraux dits non-linéaires. C’est pourquoi a été introduite la notion d’espace vectoriel qui permet de définir un cadre rigoureux à de tels phénomènes.

La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. L’intérêt de ce concept est de dégager les propriétés communes que partagent ces ensembles pourtant très différents. Le nom provient de l’ensemble le plus simple à visualiser, celui des vecteurs du plan.

Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour ”l’agrandir”, le ”rétrécir” ou le ”faire changer de sens” si ce réel est négatif). Dans tous les cas, le résultat de ces opérations sera encore un vecteur du plan. L’objectif de ce chapitre est de définir les notions de bases de la théorie des espaces vectoriels sur des exemples simples (Rn pour n = 2 ou 3) pour donner une première approche de cette théorie très riche.