Beaucoup de problèmes mathématiques, physiques ou économiques, vérifient la propriété suivante : « si u et v sont solutions alors u + v est aussi solution, ainsi que λu où λ est un réel. »
De tels problèmes sont dits linéaires et ils sont souvent plus faciles à résoudre que les problèmes plus généraux dits non-linéaires. C’est pourquoi a été introduite la notion d’espace vectoriel qui permet de définir un cadre rigoureux à de tels phénomènes. La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. L’intérêt de ce concept est de dégager les propriétés communes que partagent ces ensembles pourtant très différents. Le nom provient de l’ensemble le plus simple à visualiser, celui des vecteurs du plan. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour ”l’agrandir”, le ”rétrécir” ou le ”faire changer de sens” si ce réel est négatif). Dans tous les cas, le résultat de ces opérations sera encore un vecteur du plan. De la même manière, prenons une fonction continue sur un intervalle I, on peut lui ajouter une autre fonction continue sur l’intervalle I ou bien la multiplier par un réel et cela restera une fonction continue sur l’intervalle I. Même chose avec les polynômes, les matrices, les suites ... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux fonctions, aux polynômes ...
On donnera dans ce chapitre une première approche concrète à ces notions qui seront approfondies au second semestre.

Chapitre 12, version non complétée

Chapitre 12, version complétée

TD 12

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